【觀後感】This Is the Calculus They Won't Teach You

又是一個一年後的重看。

這是 A Well-Rested Dog 去年為 SoME2 製作的〈This Is the Calculus They Won't Teach You〉，精彩的介紹了微積分的概念從古希臘、伊斯蘭世界到近代歐洲的發展歷史，馴服、或至少部分馴服名為「無限」的野獸的過程，而這些故事提供了直觀理解微積分的脈絡。

但一如既往的，我覺得最有趣的部分在最後。
A Well-Rested Dog 提出了一個問題：為什麼我們不以這種方式教微積分呢？他引用〈Calculus Reordered: A History of the Big Ideas〉的作者 David Bressoud 所說的話：

「我們現在對微積分教學的內容安排，適用於那些希望驗證微積分邏輯上合理的人。但在大一微積分的課堂上，沒有幾個學生符合這個條件。

我問過許許多多的工程師，沒有任何一個跟我說在他們的工作中需要定義微分或是計算積分。當我訪問學生他們希望從這堂課學到什麼時，他們說我想理解（understand）微積分。因為他們總是被教導微積分是現代文明的基礎，所以想要理解他為什麼重要，哪裡重要。

但很多時候大學生的時間緊迫。當他們沒有時間讀懂（mastering）概念本身，就會退而選擇勤練解題技巧以通過下一次的考試。不幸的是，多數的微積分學生都是如此。我認為這個現象背後，有相當一部份是由我們教微積分的方式所導致。微積分有非常多重要的觀念（ideas），但我們沒有給學生足夠的時間去吸收它們，而是把時間花在教學生如何應用微積分的技巧。

我請學生描述一堂微積分課的標準流程是怎樣的，他們都說：『課堂一開始，教授會解釋他接下來要展示的數學是怎麼一回事，而我知道這段可以跳過。然後當他開始做例題的時候，我就知道我該專心了。』。

而我認為歷史重要的地方，就在於它可以幫助凸顯微積分各種技術性概念（concept）背後的觀念（ideas）。而我發現知道這些觀念從何而來的學生，往往更有學習的動力。」

這段敘述的對象雖然是賓夕法尼亞州立大學（Penn State，QS 83），但放在台灣的微積分課堂上一樣適用，尤其在敘述學生對課程的態度與表現的時候。

個人很有感的點是多數人是重技巧而輕觀念，而我的歷程則是正好相反，往往是只會觀念而沒有技巧。不僅是微積分，在我所有的物理和數學課堂幾乎都是如此。我可以聽懂，乃至很快聽懂並在腦海中建立對應的圖像，從而獲得（相對）準確的直覺，但沒有耐心或動機磨練技巧，所以 closed book 考試的課（以必修們為主）永遠是算不完，然後成績愁雲慘霧。有時候也是很羨慕那些可以直接把考古題的解答背起來的同學，至少我大概是永遠做不到。

原則上你當然可以不斷跟自己說：嘿雖然我考很爛，但至少我觀念有學好。但問題是在缺乏有力的實證時，你其實很難說服自己這不是在自我催眠。畢竟根據奧坎剃刀原則，我就爛其實是個很簡潔又強大的解釋。

一直到大二下開始接觸程式之後，這個（相對）有力的實證才逐漸浮現。比起課本中會遇到的習題，數值方法處理的往往是更加複雜（注意是複雜而不是困難）的系統。而由於這些系統往往沒有上述的「技巧」的用武之地，電腦又包辦了大量計算的部分，因此使用正確的觀念建構程式的重要性，就相對凸顯了出來。從這個過程中，我才算是確定自己至少觀念沒有白學。

除了這點，這個現象有非常多方向可以討論，比如：
。為什麼學生的時間總是很緊迫（大學生的生活型態和方向）？
。為什麼學生重視成績不重視學問的內核（面對高等教育的態度）？
。教師到底應該針對哪類的學生最佳化課程（高等教育的使命，如果班上絕大多數人都不會留在學圈，教學還應該以學圈的需求為目標嗎？）
......等，感覺就是寫不完的大坑，還是先不要碰好了_(:3」z)_