【隨筆】解析與數值方法，誰才是捷徑？

我覺得對多數人來說，成長的過程總是先學到各種解析方法（analytical method），然後才會學習怎麼使用電腦以數值方法求解，以至於會有一種解析方法是基礎，而數值方法（numerical method）是進階技巧的感覺。

但身為一個天天跟數值方法打交道的人，我反而是在大量接觸數值方法之後，才終於有辦法回過頭來體會解析方法的神奇之處。很多人好像會覺得數值方法像一種捷徑，有一種不好好學基本功（解析方法）的才偷吃步的印象。

但其實仔細想想，面對相同問題的時候，數值方法的做法往往更直覺，解析方法才是捷徑。以積分為例，概念上這是把函數下的面積切成一份份加起來，而典型的數值方法就是這樣做。但當你使用解析方法的時候，你完全不需要知道函數下的某個塊梯形面積具體有多大，也不需要全部走過一遍把它們加起來，而是藉由一些「神奇的 argument」直接跳到答案。就像參加一場馬拉松，然後根本不管這 42 公里路況如何，就直接閃現到終點一樣。

這個主題還可以連到經典的〈The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences〉，但感覺展開下去就沒完沒了了。總之我每天都很陶醉在這些理性與邏輯帶來的奇蹟中。